Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．

Answer 1

考點：圓的切線的判定定理的證明,圓的切線的性質定理的證明

專題：計算題,證明題,直線與圓

分析：（1）根據∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC=∠D=60°； 
（2）根據AB是⊙O的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，結合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，從而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；
（3）連結OC，證出△OBC是等邊三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半徑等于4，可得劣弧AC所對的圓心角∠AOC=120°，再由弧長公式加以計算，可得劣弧AC的長．

解答： 解：（1）∵∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°； 
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；
（3）如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等邊三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半徑R=OB=AB=4，
由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，
因此，劣弧AC的長等于

120πR

180

=

120π•4

180

=

8π

3

．

點評：本題著重考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識，屬于中檔題．解題過程中，請注意注意輔助線的作法與數(shù)形結合思想的應用．