Question

已知極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，兩個坐標(biāo)系單位長度相同，已知傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程：

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
（1）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)曲線C與直線l相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

，求tanα．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程，兩者聯(lián)立得直角坐標(biāo)為A（0，0），B（2，-2），再把它們化為極坐標(biāo)．
（2）將直線的參數(shù)方程帶入曲線的直角坐標(biāo)方程得t²+（2sinα-6cosα）t+6=0，結(jié)合題意可得|AB|=2

3

，|t1-t2|=2

3

，由韋達(dá)定理以及 sin²α+cos²α=1（0≤α＜π），求得tanα的值．

解答： 解：（1）由ρ=4cosθ得C（x-2）²+y²=4，直線l：x+y=0．
兩者聯(lián)立得直角坐標(biāo)為A（0，0），B（2，-2），
可得它們的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(0，0)，B(2

2

，-

π

4

)．
（2）將直線的參數(shù)方程帶入曲線的直角坐標(biāo)方程得t²+（2sinα-6cosα）t+6=0，∵|AB|=2

3

，∴|t1-t2|=2

3

 ①．
由韋達(dá)定理得：t₁+t₂=-（2sinα-6cosα），t₁•t₂=6，∴化簡①可得 2sinα-6cosα=±6．
再根據(jù) sin²α+cos²α=1（0≤α＜π），求得得

sinα=0 cosα=1

或

sinα= 3 5 cosα=- 4 5

，∴tanα=0或tanα=-

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．