Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-2lnx，
當x∈（1，+∞）時，，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)． （5分）
（Ⅱ）解：，
當x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，則當x∈[1，e]時，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
又f（1）=1，故函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為1．
若a≥2e²，則當x∈[1，e]時，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．
若2＜a＜2e²，則當時，f′（x）＜0，此時f（x）是減函數(shù)；
當時，f′（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．
又，
所以f（x）在[1，e]上的最小值為．
綜上可知，當a≤2時，f（x）在[1，e]上的最小值為1；
當2＜a＜2e²時，f（x）在[1，e]上的最小值為；
當a≥2e²時，f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．（13分）
分析：（Ⅰ）要證函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，只需要證明其導數(shù)大于0即可；
（Ⅱ）求導函數(shù)先研究函數(shù)的單調性，確定極值，從而確定函數(shù)的最值，分類討論是解題的關鍵．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調性與函數(shù)的最值．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性比用函數(shù)單調性的定義要方便，但應注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件．