Question

【題目】在△ABC中，已知AB= ，cosB= ，AC邊上的中線BD= ，求sinA的值．

Answer 1

【答案】解：解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE∥AB，且DE= AB= ，設(shè)BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣
在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BEEDcos∠BED，5=x2+ +2× × x，
解得x=1，x=﹣ （舍去）．
故BC=2，從而AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcosB= ，即AC=
又sinB= ，故 = ，sinA= ．
解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為x軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限．
由sinB= ，則 =（ cosB， sinB）=（ ， ），
設(shè) =（x，0），則 =（ ， ）．
由條件得| |= = ．
從而x=2，x=﹣ （舍去）．故 =（﹣ ， ）．
于是cosA= = = ．
∴sinA= = ．
解法三：過(guò)A作AH⊥BC交BC于H，延長(zhǎng)BD到P使BD=DP，連接AP、PC．
過(guò)P做PN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于N，則HB=ABcosB= ，AH= ，
BN= = = = ，
而 HB= ，∴CN= ，HC= ，AC= = ．
故由正弦定理得 = ，∴sinA= ．

【解析】解三角形的特征是把題目中所給的條件全部集合到一個(gè)三角形中，依次解出邊、角，達(dá)到解三角形的目的．
方法一通過(guò)充分利用D是中點(diǎn)，構(gòu)造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求邊AC，下則可用正弦定理求出sinA；
方法二根據(jù)所給的條件巧妙地建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化到向量中研究，大大降低了分析問(wèn)題的難度，首先是求出了 ， 兩個(gè)向量，利用公式求出了兩個(gè)向量的夾角A的余弦，再求正弦．此法越過(guò)了構(gòu)造新三角形，使得方法易想．
方法三與方法一類似構(gòu)造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中點(diǎn)這一性質(zhì)構(gòu)造出了一個(gè)平行四邊形，使得求三角形的另兩邊的邊長(zhǎng)時(shí)視野開闊，方法也較巧妙．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．