Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，；并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意正整數(shù)n，有3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．再寫(xiě)一式，兩式相除可證對(duì)任意正整數(shù)n，；從而可知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)、奇數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，故可用分段函數(shù)形式表示數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意可得?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，從而可表示3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，利用分離參數(shù)法，借助于函數(shù)的最值，可求參數(shù)的范圍．
解答：解：（1）由?n∈N^*，a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，知．…（3分）
故數(shù)列{a_2k-1}，{a_2k}都是公比為2的等比數(shù)列，…（4分）∵a₁=1，a₁a₂=2，∴a₂=2．…（5分）
知：?k∈N^*，a_2k-1=a₁×2^k-1=2^k-1，a_2k=a₂×2^k-1=2^k．…（6分）
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為．…（7分）
或
（2）?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，…（8分）
則．…（10分）?n∈N^*，3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，等價(jià)于?n∈N^*，…（11分）
設(shè)，則，
故．…（13分）
所以實(shí)數(shù)λ的最小值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與不等式的綜合，主要考查等比數(shù)列的概念，考查分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)．