Question

【題目】某班為了提高學生學習英語的興趣，在班內(nèi)舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽，比賽分為預賽和決賽2個階段，預賽為筆試，決賽為說英語、唱英語歌曲，將所有參加筆試的同學進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖，其中后三個矩形高度之比依次為4：2：1，落在[80，90）的人數(shù)為12人．

（Ⅰ）求此班級人數(shù)；
（Ⅱ）按規(guī)定預賽成績不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場順序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是 ，

所以人數(shù) ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，

（i）設“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，

則 ，

所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為 ．

（ii）隨機變量的可能取值為0，1，2， ， ， ，

隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P

因為 ，

所以隨機變量的數(shù)學期望為1．

【解析】（Ⅰ）由圖可知落在區(qū)間[80，90）的頻率的值即可得出人數(shù)。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知參加決賽的人有6人（i）根據(jù)題意利用相互獨立與互斥事件的概率計算出即可得出滿足題意的概率。（ii）由已知可得出隨機變量的可能取值為0，1，2，利用伯努利概率公式即可計算出各個概率進而可得到隨機變量X的分布列，再由數(shù)學期望公式即可得到數(shù)學期望值。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．