Question

【題目】設 為橢圓 上任一點，， 為橢圓的焦點，，離心率為 ．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線 經過點 ，且與橢圓交于 ， 兩點，若直線 ，， 的斜率依次成等比數(shù)列，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 ．

【解析】試題分析：（1）由，，運用橢圓的定義可得，由離心率公式可得，再由的關系可得，從而得到橢圓方程；（2）由直線 經過點 ，可知，，設點 ，，由 消 ，得 ，利用韋達定理和等比中項的性質，化簡整理可得的值，進而得到所求直線方程.

試題解析：（1） 由橢圓的定義可得 ，可得 ，

由 ，可得 ，，

則橢圓方程為 ；

（2） 由直線 經過點 ，可知，，

設點 ，，

由 消 ，得 ，

由直線與橢圓交于不同的兩點，可得 ，解得 ，

由韋達定理得，，，

由題意知，，

即

所以 ，即 ，

即 ，即為 ，

所以直線 的方程為 或 ．