一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0).
(Ⅰ)求點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)F1′的坐標(biāo);
(Ⅱ)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程;
(Ⅲ)設(shè)直線l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q 到F2的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線的距離之比的最小值,并求取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)設(shè)F
1‘的坐標(biāo)為(m,n),則
=-且
2•-+3=0.由此能求出點(diǎn)F
1′的坐標(biāo).
(Ⅱ)由|PF
1′|=|PF
1|,得2a=|PF
1′|+|PF
2|=|F
1F
2|=
=2,由此能求出橢圓方程.
(Ⅲ)由
=2,知橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±2.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,2t+3)(-2<t<2),d
1表示點(diǎn)Q到F
2的距離,d
2表示點(diǎn)Q到橢圓的右準(zhǔn)線的距離.則
==
,令
f(t)=,(-2<t<2),則
f′(t)=(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2) |
(t-2)4 |
=
,由此能求出
最小值和此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答:解:(Ⅰ)設(shè)F
1的坐標(biāo)為(m,n),則
=-且
2•-+3=0.
解得
m=-,n=,因此,點(diǎn)F
1′的坐標(biāo)為(-
,).
(Ⅱ)∵|PF
1′|=|PF
1|,根據(jù)橢圓定義,
得2a=|PF
1′|+|PF
2|=|F
1F
2|=
=2,
∴
a=,b==1.∴所求橢圓方程為
+y2=1.
(Ⅲ)∵
=2,∴橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±2.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,2t+3)(-2<t<2),d
1表示點(diǎn)Q到F
2的距離,d
2表示點(diǎn)Q到橢圓的右準(zhǔn)線的距離.
則
d1==,d
2=|t-2|.
==
,令
f(t)=,(-2<t<2),則
f′(t)=(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2) |
(t-2)4 |
=
,
∵當(dāng)
-2<t<-,f′(t)<0,
-<t<2,f′(t)>0,t=-
,f′(t)>0.
∴f(t)在t=-
時(shí)取得最小值.
因此,
最小值=
=,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-
,)(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì),注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.