Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若∠C=

2

3

π，a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差為2．
（1）求c；
（2）如圖，A′，B′分別在射線CA，CB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠A′B′C=θ，試用θ表示線段B'C的長，并求其范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)用c表示出a、b，并求出c的范圍，由余弦定理和題意列出關(guān)于c的方程，再求出c的值；
（2）由內(nèi)角和定理求出∠B′A′C，再求出θ的范圍，由正弦定理求出B′C，由θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出線段B′C的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閍、b、c成等差，且公差為2，
所以a=c-4，b=c-2，則c＞4
又cos C=-

1

2

，所以由余弦定理得，

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
則

(c-4)2+(c-2)2-c2

2(c-4)(c-2)

=-

1

2

，
化簡得c²-9c+14=0，解得c=7或c=2，
又c＞4，所以c=7，
（2）在△A′B′C中，∠B′A′C=

π

3

-θ，則0＜θ＜

π

3

，
由正弦定理得

A′C

sin∠A′B′C

=

B′C

sin∠B′A′C

=

A′B′

sin∠A′CB′

，
則

A′C

sinθ

=

B′C

sin( π 3 -θ)

=

7

sin 2π 3

，
所以B′C=

14 3

3

sin（

π

3

-θ），
由θ∈（0，

π

3

）得0＜

π

3

-θ＜

π

3

，則0＜sin （

π

3

-θ）＜

3

2

，
座椅0＜

14 3

3

sin（

π

3

-θ）＜7，
即線段B′C的范圍為（0，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦、余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．