Question

已知數列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1（n≥1，且n∈N^*）
（1）求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出數列{a_n}的通項公式a_n，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列的概念及簡單表示法,數列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據S_n+a_n=2n+1，代入即可求出a₁，a₂，a₃．
（2）總結出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（1）由a₁+a₁=2-+1，得a₁=

3

2

，
由a₁+a₂+a₂=2×2+1，得a₂=

7

4

，
同理a₃=

15

8

．
（2）猜測a_n=2-

1

2n

（n∈N^*）
證明：①由（1）當n=1時，a₁=

3

2

命題成立；
②假設n=k時，a_k=2-

1

2k

成立，
則n=k+1時，由已知S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=2k+3，
把S_k=2k+1-a_k及a_k=2-

1

2k

代入化簡a_k+1=2-

1

2k+1

即n=k+1時，命題成立．
由①②得a_n=2-

1

2n

（n∈N^*）．

點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法．