設(shè)函數(shù)(,為常數(shù))
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,證明:當(dāng)時(shí),.
①②見題解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論二次函數(shù)的零點(diǎn)情況,確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值區(qū)間,進(jìn)一步確定原函數(shù)的單調(diào)性. (Ⅱ)先把原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,由于我們只能運(yùn)用求導(dǎo)的方法來(lái)研究這個(gè)函數(shù)的值域,而此函數(shù)由于求導(dǎo)后不能繼續(xù)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間,故利用均值不等式進(jìn)行放縮, 后,函數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)研究值域,且 恒成立是恒成立的充分條件,注意需要二次求導(dǎo).
試題解析:(Ⅰ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091401263266538264/SYS201309140128107577116596_DA.files/image007.png">, ,
(1)當(dāng)時(shí),解得或;解得
所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(3)當(dāng)時(shí),解得或;解得
所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ……(6分)
(Ⅱ)證明:不等式等價(jià)于
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091401263266538264/SYS201309140128107577116596_DA.files/image022.png">, 所以 ,
因此
令, 則
令得:當(dāng)時(shí),
所以在上單調(diào)遞減,從而. 即,
在上單調(diào)遞減,得:,
當(dāng)時(shí),.. ……(12分)
考點(diǎn):1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法;2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;3.均值不等式;4.放縮法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)函數(shù),其中為常數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有極值點(diǎn),求的取值范圍及的極值點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆山西省高三第一學(xué)期8月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中為常數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有極值點(diǎn),求的取值范圍及的極值點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆山西省高三第一學(xué)期8月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中為常數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有極值點(diǎn),求的取值范圍及的極值點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆江蘇省高一第一次階段練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)函數(shù),,為常數(shù),若存在,使得與同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣東省高三上學(xué)期10月月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)20. (14分)設(shè)函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)的有極值點(diǎn),求的取值范圍及的極值點(diǎn);
(3)求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù),不等式都成立.
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