Question

某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1所示；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2所示（利潤與投資單位：萬元）．

（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的模型設(shè)出函數(shù)解析式，從兩個圖中分別找出特殊點坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出兩個函數(shù)解析式．
（2）將企業(yè)獲利表示成對產(chǎn)品B投資x的函數(shù)；將函數(shù)中的

x

換元為t，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出對稱軸，求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)投資為x萬元，
A、B兩產(chǎn)品獲得的利潤分別為f（x）、g（x）萬元，
由題意，f(x)=k1x，g(x)=k2

x

，(k1，k2≠0；x≥0)（3分）
又由圖知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；
解得k1=

1

4

，k2=

5

4

∴f(x)=

1

4

x(x≥0)；g(x)=

5

4

x

(x≥0)（8分）
（2）設(shè)對B產(chǎn)品投資x萬元，則對A產(chǎn)品投資（10-x）萬元，
記企業(yè)獲取的利潤為y萬元，
則y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

(x≥0)（10分）
設(shè)

x

=t，則x=t²，(0≤t≤

10

)
∴y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

當(dāng)t=

5

2

也即x=

25

4

時，y取最大值

65

16

（14分）
答：對B產(chǎn)品投資

25

4

萬元，對A產(chǎn)品投資

15

4

萬元時，
可獲最大利潤

65

16

萬元．

點評：本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對稱軸有關(guān)．