Question

為保護(hù)環(huán)境，綠色出行，某高校今年年初成立自行車租賃公司，初期投入36萬元，建成后每年收入25萬元，該公司第n年需要付出的維修費用記作a_n萬元，已知{a_n}為等差數(shù)列，相關(guān)信息如圖所示．
（1）設(shè)該公司前n年總盈利為y萬元，試把y表示成n的函數(shù)，并求出y的最大值；（總盈利即n年總收入減去成本及總維修費用）
（2）該公司經(jīng)過幾年經(jīng)營后，年平均盈利最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，每年的費用是以6為首項，2為公差的等差數(shù)列，即可把y表示成n的函數(shù)，利用配方法求出y的最大值；
（2）年平均盈利

y

n

=-（n+

36

n

）+20，利用基本不等式能求出這種設(shè)備使用6年，該公司的年平均獲利最大．

解答： 解：（1）由題意，每年的維修費是以6為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n+4，
∴y=25n-

n[6+(2n+4)]

2

-36=-n²+20n-36=-（n-10）²+64
∴n=10時，y的最大值為64萬元；
（2）年平均盈利

y

n

=-（n+

36

n

）+20≤-2

n× 36 n

+20=8，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時，年平均收益最大．
所以這種設(shè)備使用6年，該公司的年平均獲利最大．

點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查基本不等式的運用，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．