Question

根據(jù)下列條件求實(shí)數(shù)m的取值范圍：
（1）關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比4大，另一個(gè)比4��；
（2）關(guān)于x的一元二次方程7x²-（m+13）x+m+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，利用方程的根一個(gè)比4大，另一個(gè)比4小，可得函數(shù)f（x）的圖象與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在4的左邊，另一個(gè)在4的右邊，從而可得f（4）＜0，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，可得不等式組，解之，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14．…（1分）
因?yàn)閤²+2（m+3）+2m+14=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比4大，另一個(gè)比4小，
所以函數(shù)f（x）的圖象與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在4的左邊，另一個(gè)在4的右邊，
所以f（4）＜0，…（2分）
所以4²+8（m+3）x+2m+14＜0…（1分），
解得m＜-

27

5

．…（2分）
（2）設(shè)f（x）=7x²-（m+13）x+m+2．…（1分）
由題意得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，…（2分）
即

m+2＞0 -4＜0 -m+4＞0

．…（1分）
解得-2＜m＜4．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程根的問題，考查函數(shù)與方程思想，正確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想解題是關(guān)鍵．