已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，與直線x+y=1交于兩點A、B，又|AB|=2
2
，AB中點與橢圓中心連線的斜率為
2
2
，求橢圓方程．
考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），橢圓方程為ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b），由
ax2+by2=1
x+y=1
，得a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，由已知條件推導(dǎo)出b=
2
a，（
2b
a+b
）2-4•
b-1
a+b
=4，由此能求出橢圓的方程．
解答： 解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），橢圓方程為ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b），
則A、B的坐標(biāo)是方程組
ax2+by2=1
x+y=1
的解．
即：a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，
因為
y1-y2
x1-x2
=-1，所以
y1+y2
x1+x2
=
a
b
，
設(shè)AB中點C（xC，yC），則
2yC
2xC
=
a
b
=
2
2
，所以b=
2
a①
再由方程組消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
由|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2(x1-x2)2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=2
2
，
得（x1+x2）2-4x1x2=4，即（
2b
a+b
）2-4•
b-1
a+b
=4．②
由①②解得a=
1
3
，b=
2
3
，
故所求的橢圓的方程為
x2
3
+
2
y2
3
=1．
點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要注意兩點間距離公式的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
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ax+c
x2+1
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11
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1
2
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個．

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