Question

設拋物線y²=4px（p＞0）的準線與x軸的交點為M，過點M作直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x₀，0），求證：x₀＞3p；
（3）若直線l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ時，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，…，N_n，當時0＜p＜1，求Sn-1=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|Nn-1Nn|

(n≥2，n∈N*)的值．

Answer 1

分析：（1）設出l的方程代入y²=4px，確定k的范圍，利用韋達定理，確定線段AB的中點坐標，消參，即可求得AB中點的軌跡方程；
（2）求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0，得x0=(

2

k2

+1)p，從而可得結(jié)論；
（3）確定{

1

|Nn-1Nn|

}是以

p3

2(1-p2)

為首項，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：拋物線的準線為x=-p，∴M（-p，0），
設l：y=k（x+p）（k≠0），代入y²=4px得k²x²+2（k²-2）px+k²p²=0
由△=4（k²-2）²p²-4k⁴p²＞0得-1＜k＜1（k≠0）
設線段AB的中點為Q（x，y），則x=

x1+x2

2

=(

2

k2

-1)p，y=k(x+p)=

2p

k

消去k，得y²=2p（x+p）（x＞p），即為所求AB中點的軌跡方程；          （4分）
（2）證明：線段AB的垂直平分線方程為y-

2p

k

=-

1

k

[x-(

2

k2

-1)p]．
令y=0，得x0=(

2

k2

+1)p，∵0＜k²＜1，∴x₀＞3p；           （8分）
（3）解：當斜率kn=pn時，N((

2

p2n

+1)p，0)，
∵|Nn-1Nn|=|xn-xn-1|=|(

2

p2n

+1)p-(

2

p2n-2

+1)p|=

2(1-p2)

p2n-1

(0＜p＜1)，
∴

1

|Nn-1Nn|

=

p2n-1

2(1-p2)

=

p

2(1-p2)

(p2)n-1，
∴{

1

|Nn-1Nn|

}是以

p3

2(1-p2)

為首項，以p²為公比的等比數(shù)列，且0＜p²＜1
故Sn=

p3(1-p2n-2)

2(1-p2)2

．（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查等比數(shù)列的證明與求和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．