Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
②y=f（x）不存在反函數(shù)；
③f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)；
④方程f（x）=x²在（0，+∞）上沒有實(shí)數(shù)根，其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性判斷①的正誤；通過函數(shù)具有反函數(shù)的性質(zhì)判斷②的正誤；利用函數(shù)的凹凸性判斷③的正誤；函數(shù)的零點(diǎn)判斷④的正誤．

解答：解：函數(shù)f（x）=e^x，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；說明函數(shù)是增函數(shù)，滿足題意，∴①正確；
②y=f（x）不存在反函數(shù)；函數(shù)有反函數(shù)函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，∴②不正確；
③具有性質(zhì)f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)的函數(shù)是凸函數(shù)，而f（x）=e^{x_{是凹函數(shù)}}；∴③不正確；
④方程f（x）=x²，即e^x=x²，函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=x²．在（0，+∞）上沒有交點(diǎn)，就是說分沒有實(shí)數(shù)根，∴④正確．
綜上正確的結(jié)果為：①④．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)函數(shù)的凹凸性以及函數(shù)的零點(diǎn)，基本知識考查．