Question

（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：將（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開得到（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，將（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（x-

2

x

）⁶的常數(shù)項(xiàng)加（x-

2

x

）⁶的含x^-2項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出（x-

2

x

）⁶的常數(shù)項(xiàng)和x²（x-

2

x

）⁶的含x^-2項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)一步求出（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：因?yàn)椋?+x²）（x-

2

x

）⁶=（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（x-

2

x

）⁶的常數(shù)項(xiàng)加（x-

2

x

）⁶的含x^-2項(xiàng)的系數(shù)，
（x-

2

x

）⁶的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=

C

r 6

x^6-2r（-1）^r
令6-2r=0得r=3，所以（x-

2

x

）⁶的常數(shù)項(xiàng)為：-

C

3 6

×2³=-160，
令6-2r=-2得r=4所以（x-

2

x

）⁶的含x^-2項(xiàng)的系數(shù)為

C

4 6

×2⁴=240，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：240-160=80．
故答案為：80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題，屬于中檔題．