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如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2=4x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A，B，設P為橢圓E上一點，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標原點），當|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時，求實數t的取值范圍．
（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F2（1，0）．
所以橢圓E的方程為：
x2
b2+1
+
y2
b2
=1．
解方程組
y2=4x
x=1
得C（1，2），D（1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴
|F2C|
|F2S|
=
|CD|
|ST|
=2
2
，|F2S|=
2
2
，∴S(1，
2
2
)．
因此，
1
b2+1
+
1
2b2
=1，解得b2=1并推得a2=2．
故橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
代入橢圓方程，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2

∴x1x2=
8k2-2
1+2k2
，x1+x2=
8k2
1+2k2
，
∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，
∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，
∴（1+k2）[
(8k2)2
(1+2k2)2
-4×
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞
1
4
，
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，
∵滿足
OA
+
OB
=t
OP
，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
-4k
t(1+2k2)
，
∵點P在橢圓上，
∴[
8k2
t(1+2k2)
]2+2[
-4k
t(1+2k2)
]2=2
∴16k2=t2（1+2k2）
∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，由于
1
4
＜k2＜
1
2
，
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2
∴實數t取值范圍為：-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線l：y=2x-4交拋物線y2=4x于A、B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△ABP的面積最大，并求這個最大面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（0，4），離心率為
3
5

（1）求C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長度．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標準方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線l與雙曲線
x2
2
-y2=1的同一支相交于A，B兩點，線段AB的中點在直線y=2x上，則直線AB的斜率為（　�。�
A．4B．2C．
1
2
D．
1
4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點到右準線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點為點P、M．
①求證：直線MP經過一定點；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點F內分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點A、B，且
AC
=2
CB
，當△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點
（1）若點P的橫坐標為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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同步練習冊答案