Question

已知直線y=ax+b（a≠b）與圓x²+y²=1．
（1）當直線與圓有兩個交點時，求a，b應滿足的條件；
（2）設這兩個交點為M，N且OM，ON與x軸正方向成α角，β角，β求證：cos(α+β)=

a2-1

a2+1

．

Answer 1

分析：（1）先求得圓心到直線的距離，若直線與圓相交需此距離小于半徑進而求得a和b的不等式關系．
（2）取MN的中點P，連接OP，則可知∠XOP=

α+β

2

，進而表示出MN和OP的斜率，進而利用余弦的二倍角公式求得
cos(α+β)=cos2

α+β

2

-sin2

α+β

2

，代入tan

α+β

2

原式得證．

解答：解：（1）圓心到直線的距離為d=

|b|

1+a2

，
∴d＜1⇒a²-b²+1＞0，
即a²-b²+1＞0時直線與圓有兩個交點．
（2）取MN的中點P，連接OP，則∠XOP=

α+β

2

，
∴kMN=a，kOP=-

1

a

=tan

α+β

2

，∴cos(α+β)=cos2

α+β

2

-sin2

α+β

2

=

1-tan2 α+β 2

1+tan2 α+β 2

=

a2-1

a2+1

得證．

點評：本題主要考查了圓與直線相交的性質，主要是利用了圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．