Question

設(shè)數(shù)列{}滿足：a₁=2，對一切正整數(shù)n，都有
(1)探討數(shù)列{}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(2)設(shè)

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的證明、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，通過對已知表達(dá)式的移項(xiàng)，變形可得出數(shù)列的通項(xiàng)，可以用等比數(shù)列的定義證明也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明；第二問，將第一問的結(jié)論代入，得到表達(dá)式，法一：利用放縮法和裂項(xiàng)相消法證明，法二：利用數(shù)列的累加法和放縮法證明.
試題解析：⑴由得，
∴對一切，可知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. 5分
（通過歸納猜想，使用數(shù)學(xué)歸納法證明的，亦應(yīng)給分）
（2）由（1）知                      6分
證一：
                              10分
12分
證二：∵ ≥（僅當(dāng)時等號成立），故此，≤10分
從而，≤＜ 12分