Question

【題目】已知數列{an}中，a1＝2，n（an+1﹣an）＝an+1，n∈N*．

（1）設bn ＝,求數列{bn}的通項公式；

（2）若對于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題得，再利用累加法求數列{bn}的通項公式.(2)由題得3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3，即得2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，接著

設f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，得不等式組，解之得解.

(1)根據題意，數列{an}中，n（an+1﹣an）＝an+1，

∴nan+1﹣（n+1）an＝1，

∴，

∴，（n≥2）

∴（）+（）+…+（a2﹣a1）+a1，

＝（）+（）+…+（1）+2＝3

∴bn ＝3.

(2)∵2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，且33，

∴3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3

∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，

設f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，

∴，即，

解得a≤﹣1或a≥3.