Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）頂點(diǎn)C在直線y=

3

上
①若sin²A+sin²B=2sin²C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②設(shè)CA＞CB，且

CA

•

CB

=6，求角C．

Answer 1

分析：①由C在直線y=

3

上，得到C的縱坐標(biāo)為

3

，設(shè)C（m，

3

），由A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，并利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出BC與AC，將AB的長(zhǎng)代入得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出C的坐標(biāo)；
②由三點(diǎn)坐標(biāo)表示出

CA

與

CB

，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

CA

•

CB

=6，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，根據(jù)CA大于CB，得到符合題意的m的值，確定出C的坐標(biāo)，求出CA與CB的長(zhǎng)，利用余弦定理表示出cosC，將三條邊代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)．

解答：解：①設(shè)C（m，

3

），
∵A（-1，0）、B（1，0），
∴AB=

(-1-1)2+0

=2，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)sin²A+sin²B=2sin²C得：BC²+AC²=2AB²=8，
即（m-1）²+3+（m+1）²+3=8，
解得：m=0，
則C（0，

3

）；
②∵A（-1，0）、B（1，0），C（m，

3

），
∴

CA

=（-1-m，-

3

），

CB

=（1-m，-

3

），
由

CA

•

CB

=6得：（-1-m）（1-m）+3=6，
解得：m=±2，又CA＞CB，
∴m=2，
∴CA=2

3

，CB=2，
∴cosC=

CA2+CB2-AB2

2CA•CB

=

12+4-4

2×2 3 ×2

=

3

2

，
又C為三角形的內(nèi)角，
則C=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．