在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
（1）求證：BC⊥AD；
（2）若二面角A-BC-D為
π
3
，求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（3）設(shè)二面角A-BC-D的大小為θ，猜想θ為何值時，四面體A-BCD的體積最大．（不要求證明）
考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BC⊥平面AOD即可證明BC⊥AD；
（2）根據(jù)二面角A-BC-D的大小，即可求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（3）根據(jù)條件進(jìn)行猜想即可得到四面體A-BCD的最大體積．
解答： 證明：（1）取BC中點O，連結(jié)AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是邊長為4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO=O，
∴BC⊥平面AOD．
又AD?平面AOD，
∴BC⊥AD．
（2）取AC中點M，AD中點N，
則OM∥AB，MN∥CD，
∴∠OMN為所求角（或其補交）
另一方面，由（1）知道BC⊥平面AOD，從而二面角A-BC-D的平面角為∠AOD=
π
3
．
∴△AOD為正三角形，
∴AD=2
3
，
∴ON=
3
2
AD=3
從而在∴△OMN中，cos∠OMN=
OM2+MN2-ON2
2OM•MN
=-
1
8

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
1
8
；
（3）當(dāng) θ=90°時，四面體ABCD的體積最大．
點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的性質(zhì)和判斷，以及空間二面角和異面直線所成角的計算，考查學(xué)生的計算能力．
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甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組各有10名同學(xué)，他們在一次數(shù)學(xué)測驗中成績的莖葉圖（如圖），則他們在這次測驗中成績較好的是
 
組．

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設(shè)z=
1-ai
i
，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實數(shù)a等于（　　）
A、-1
B、0
C、1
D、
1
2

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在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為線段CD中點．
（1）求直線B1E與直線AD1所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-
A
 
_ 
1的大小；
（3）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)f（x）=cos2x+cos2（x+α）+cos2（x+β），其中α、β為常數(shù)，且滿足0＜α＜β＜π．對于任意實數(shù)x，是否存在α、β，使得f（x）是與x無關(guān)的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，請說明理由．

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已知向量
m
=（sinx，cosx），
n
=(
3
2
，
3
2
)，x∈R，函數(shù)f（x）=
m•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，設(shè)角A，B的對邊分別為a，b，若B=2A，且b=2af（A-
π
6
），求角C的大�。�

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設(shè)f（x）=2x，g（x）=4x，且滿足g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，求x的取值范圍．

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