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7.已知橢圓C:x2a2+y22=1ab0離心率為22,右焦點(diǎn)F到直線x=a2c的距離為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l(與x軸不重合)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)為D,過點(diǎn)O,D的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求四邊形AMBN面積的最小值.

分析 (1)由離心率公式e=ca=22a2c-c=1,即可求得a和c的值,由b2=a2-c2=1,即可求得b,求得橢圓C的方程;
(2)由題意可知設(shè)直線AB的方程為x=my+1,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求得中點(diǎn)D坐標(biāo)和弦長(zhǎng)丨AB丨,求得直線OD的方程,代入橢圓方程,求得M和N點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)到直線的距離公式,求得點(diǎn)M和N到直線AB的距離d1,d2,由題意可知:SAMBN=12丨AB丨+(d1+d2)=221+m22+m2=22112+m2,由函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形AMBN面積的最小值.

解答 解:(1)由題意可知:e=ca=22,a2c-c=1,
解得:a=2,c=1,
b2=a2-c2=1,
∴橢圓方程為x22+y2=1,
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),
設(shè)直線AB的方程為x=my+1,聯(lián)立{x22+y2=1x=my+1,整理得:(2+m2)y2+2my-1=0,
由韋達(dá)定理可知:y1+y2=2m2+m2,y1•y2=12+m2,
由弦長(zhǎng)公式可知:丨AB丨=1+m2•丨y1-y2丨=221+m22+m2,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:y0=y1+y22=m2+m2,x0=my0+1=m22+m2+1=22+m2,
∴D(22+m2m2+m2),
直線OD的方程為y=-m2x,代入x22+y2=1,整理得:x2=42+m2,
M(22+m2,m2+m2),N(22+m2m2+m2),
M到直線AB的距離d1=22+m2+m22+m211+m2
N到直線AB的距離d2=22+m2m22+m211+m2,
∵M(jìn),N在直線AB的兩側(cè),且MN關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴SAMBN=12丨AB丨+(d1+d2)=12221+m22+m2•(22+m2+m22+m211+m2+22+m2m22+m211+m2),
=221+m22+m2
∴SAMBN=221+m22+m2=22112+m2≥2,
綜上所述,四邊形AMBN面積的最小值2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,點(diǎn)到直線的距離公式及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是高考常見的題型,屬于難題.

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