Question

已知函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)，定義：若對給定的實數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質(zhì)”，說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)．

Answer 1

解：（1）不是；
∵g（x）=x²+1（x＞0）
∴y=g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）
∴x+1=
∴x=
∴y=-1即①
∵，，
∴與①不符故函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質(zhì)”
（2）設(shè)所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)為f（x）=kx+b（k≠0）
則f^′（x）=
∴
∵f（x+2）=k（x+2）+b
∴
∴
∴k=-1
∴f（x）=-x+b
分析：（1）根據(jù)y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”的定義可先根據(jù)求反函數(shù)的步驟求出進(jìn)而求出①；再根據(jù)g（x）=x²+1（x＞0）求出g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）進(jìn)而求出g（x+1）的反函數(shù)即g^′（x+1）②然后比較①②是否相同進(jìn)而可根據(jù)定義得出結(jié)論．
（2）設(shè)所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)為f（x）=kx+b（k≠0）然后求出f^′（x）進(jìn)而求出f^′（x+2）；再根據(jù)f（x+2）求出f^′（x+2）然后兩者相等求出k，b所滿足的條件．
點評：本題主要考查了反函數(shù)的有關(guān)知識．解題的關(guān)鍵是要對“a和性質(zhì)”理解透徹同時要對求反函數(shù)的步驟熟練（①反解求x②將x，y對調(diào)③標(biāo)明反函數(shù)的定義域（即為原函數(shù)的值域））！