Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-lnx（a∈R）
（I）若a=1，求f（x）的單調區(qū)間及f（x）的最小值；
（II）若a∈R，試討論f（x）的單調區(qū)間；
（III）若n∈N⁺，求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

ln

(n+1)(n+2)

2

．

Answer 1

（I）f（x）=|x-a|-lnx的定義域為（0，+∞）．
a=1，f（x）=|x-1|-lnx，
當x≥1時，f（x）=x-1-lnx，
f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增函數(shù)，
當0＜x＜1時，f（x）=1-x-lnx，
f′(x)=-1-

1

x

＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減函數(shù)，
故a=1時，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
f（x）_min=f（1）=0．
（II）若a≥1時，當x≥a時，f（x）=x-a-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是遞增的；
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的，
若0＜a＜1，當x≥a時，f（x）=x-a-lnx，
f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，f（x）在區(qū)間[a，1）上是遞減的．
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0，
f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的，
而f（x）在x=a處連續(xù)，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，在區(qū)間（0，1）上是遞減的，
若a≤0，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，0＜x＜1，f′（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的．
綜上所述，
當a≥1時，
a≤0，f（x）=x-lnx，
f（x）的增區(qū)間是[a，+∞），減區(qū)間是（0，a）．
當a＜1時，f（x）的遞增區(qū)間是{1，+∞），減區(qū)間是（0，1）．
（III）由（I）知：a=1
f（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增．
∴x＞1時，f（x）=x-1-lnx＞f（1）=0，
即x-1＞lnx在x＞1時成立．
若n∈N^*，n＞1，則令x=

n+1

n-1

＞1，
則

n+1

n-1

-1＞ln

n+1

n-1

，
即

2

n-1

＞ln

n+1

n-1

，
∴

2

2-1

+

2

3-1

+…+

2

n

＞ln

2+1

2-1

+ln

3+1

3-1

+…+ln

n+2

n

=ln

n+2

2n

，
∴n∈N^*，n＞1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

ln

(n+1)(n+2)

2

，
∵n=1時，不等式即為1＞

1

2

ln3=ln

3

成立，
故n∈N^*時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

ln

(n+1)(n+2)

2

．