Question

已知橢圓C的長軸的兩個端點分別為A（-2，0），B（2，0），過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3，點P是橢圓C上異于A，B的一動點，直線AP，BP與直線l：x=a （F∉l）分別相交于M，N兩點，記直線FM，F(xiàn)N的斜率的乘積為u．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）對于給定的常數(shù)a，證明u是一個與P的位置無關的常數(shù)；
（Ⅲ）當a變化時，求u的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）先求出a，利用過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐標，可得直線FM，F(xiàn)N的斜率的乘積，化簡即可證明u是一個與P的位置無關的常數(shù)；
（Ⅲ）當a變化時，利用基本不等式或導數(shù)知識求u的最小值．

解答： （Ⅰ）解：由已知可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，則a=2，其焦點坐標為（±c，0），
由

c2

a2

+

y2

b2

=1得y=±

b2

a

，從而過焦點且垂直于長軸的弦長為

2b2

a

，
由題設

2b2

a

=3，所以b²=3，故所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．    …（4分）
（Ⅱ）證明：依題意得右焦點F的坐標為（1，0），設P的坐標為（x₀，y₀），…（5分）
則直線AP的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，它與l的交點為M（a，

y0

x0+2

（a+2）），
直線BP的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，它與l的交點為N（a，

y0

x0-2

（a-2））．…（7分）
因此，直線FM，F(xiàn)N的斜率的乘積為u=

y02 x02-4 (a2-4)

(a-1)2

=-

3(a2-4)

4(a-1)2

，它是一個與點P的位置無關的常數(shù) …（9分）
（Ⅲ）解法1：u=-

a+2

2a-2

•

3a-6

2a-2

≥-(

a+2 2a-2 + 3a-6 2a-2

2

)2=-1，…（12分）
“=”當且僅當a+2=3a?6，即a=4時成立，
故u的最小值為-1．  …（13分）
解法2：求得：u′=

3(a-4)

2(a-1)3

． …（10分）
故a∈（-∞，1）時，u為增函數(shù)；a∈（1，4）時，u為減函數(shù)；a∈[4，+∞）時，u為增函數(shù)．…（12分）
u_極小=u|_a=4=-1，但a→±∞時，u→1，
故u的最小值為-1． …（13分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．