如圖,四棱錐P-ABCD的底面為梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PD⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:EB∥平面PAD;
(2)若PA=AD=DC,求二面角E-BD-C的余弦值.
分析:(1)取CD的中點(diǎn)F,連接EF、BF,則EF∥PD,由此能夠證明EB∥平面PAD.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)OB=1,則PA=AD=DC=2,利用向量法能夠求出二面角E-BD-C的余弦值.
解答:(1)證明:取CD的中點(diǎn)F,連接EF、BF,
則EF∥PD,
∴EF∥平面PAD,
∵BF∥AD,∴BF∥平面PAD,
∴平面EBF∥平面PAD,
∴EB∥平面PAD.
(2)解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
設(shè)OB=1,則PA=AD=DC=2,
∴B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),


∴E(1,1,1),
BE
=(0,1,1),
BD
=(-1,2,0)
,
取平面BDC的法向量
n1
=(0,0,1)

設(shè)平面BDE的法向量
n2
=(x,y,z)
,則
BD
n2
=0
BE
n2
=0
,
-x+2y=0
y+z=0
,∴
n2
=(2,1,-1),
設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ,
則cosθ=|cos<
n1
n2
>|=|
-1
6
|=
6
6
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的平面角的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意向量法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案