Question

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求證：b=c；
（2）設(shè)點(diǎn)p（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用橢圓定義可得|AB|=．設(shè)l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韋達(dá)定理可得，從而可證b=c． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，根據(jù)|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，可得k_PM=-1，從而可求b=3，進(jìn)而可求橢圓C的方程．
解答：（1）證明：由題設(shè)，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，，
所以，|AB|=．（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）（2分）
∴，
∴|AB|²=+=2=2[]
===
于是有，（4分）
化簡(jiǎn)，得a=，故b=c． （1分）
（2）解：由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0    （1分）
設(shè)AB中點(diǎn)為M（x，y），則，
又M∈l，于是． （2分）
由|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，∴k_PM=-1，
由P（0，-1），得，解得b=3，
∴a²=b²+c²=18，（2分）
故橢圓C的方程為．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)p（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求得斜率為-1．