已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且數(shù)學公式．
（I）證明：數(shù)列{數(shù)學公式}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式數(shù)學公式對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)k．

（I）證明：∵數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，
且，
∴（1+2an）（1-2an+1）=1，
∴an-an+1=2an•an+1，
∴，
∴數(shù)列是以=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴．
（Ⅱ）解：由（I）得，
，
，
則k，
記f（n）=，
則，
∴數(shù)列{f（n）}是遞增數(shù)列，
要使原不等式對任意正整數(shù)n都成立，只要k≤f（1），
即，
∴滿足條件的最大實數(shù)k為．
分析：（I）由題設知（1+2an）（1-2an+1）=1，故an-an+1=2an•an+1，，由此能夠證明數(shù)列是以=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{an}的通項公式．
（Ⅱ）由，知，故，則k，由此能求出滿足條件的最大實數(shù)k的值．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）當m=1時，求證：對于任意的實數(shù)λ，{an}一定不是等差數(shù)列；
（2）當λ=-
1
2
時，試判斷{bn}是否為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列，n∈N*，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ為實數(shù)，且λ≠-18，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）證明：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)k．

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