Question

某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號(hào)的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=

q3

3

-3q2+20q+10(q＞0)．該種產(chǎn)品的市場(chǎng)前景無(wú)法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：

市場(chǎng)情形	概率	價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-3q

設(shè)L₁，L₂，L₃分別表示市場(chǎng)情形好、中差時(shí)的利潤(rùn)，隨機(jī)變量ξ_q，表示當(dāng)產(chǎn)量為q，而市場(chǎng)前景無(wú)法確定的利潤(rùn)．
（Ⅰ）分別求利潤(rùn)L₁，L₂，L₃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)產(chǎn)量q確定時(shí)，求期望Eξ_q，試問(wèn)產(chǎn)量q取何值時(shí)，Eξ_q取得最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意可以寫出利潤(rùn)L₁，L₂，L₃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，整理合并同類項(xiàng)得到關(guān)于q的三次函數(shù)，寫出自變量q的取值范圍．
（Ⅱ）寫出期望的表示式，根據(jù)多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，寫出最簡(jiǎn)形式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出q的值，確定這是函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意寫出
L1=(164-3q)•q-(

q3

3

-3q2+20q+10)
=-

q3

3

+144q-10(q＞0)．
同理可得L2=-

q3

3

+81q-10(q＞0)．
L3=-

q3

3

+50q-10(q＞0)．
（Ⅱ）由期望定義可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
=0.4*(-

q3

3

+144q-10)+0.4*(-

q3

3

+81q-10)+0.28*(-

q3

3

+50q-10)
=-

q3

3

+100q-10．
可知Eξ_q是產(chǎn)量q的函數(shù)，設(shè)f(q)=Eξq=-

q3

3

+100q-10(q＞0)，
得f′（q）=-q²+100．令f′（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由題意及問(wèn)題的實(shí)際意義可知，當(dāng)q=10時(shí)，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大時(shí)的產(chǎn)量為10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，利用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率和函數(shù)知識(shí)建模解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．