已知直線x=-1的方向向量為
a
及定點(diǎn)F(1,0),動(dòng)點(diǎn)M,N,G滿足
MN
-
a
=0,
MN
+
MF
=2
MG
,
MG
•(
MN
-
MF
)=0,其中點(diǎn)N在直線l上.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn),直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,若α+β=θ為定值(0<θ<π),試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn),若AB恒過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),若AB不恒過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)由題意知:MN⊥l|MF|=|MN|,
由拋物線的定義知,點(diǎn)M的軌跡為拋物線,
其中F(1,0)為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線,
所以軌跡方程為y2=4x;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得x1≠x2(否則α+β=π)且x1•x2≠0,
所以AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+b,
顯然x1=
y21
4
x2=
y22
4
,
聯(lián)立
y=kx+b
y2=4x
,消去x得到:y2-
4
k
y+
4b
k
=0
,
由根與系數(shù)關(guān)系得:
y1+y2=
4
k
y1y2=
4b
k

1)當(dāng)θ=
π
2
時(shí),即α+β=
π
2
時(shí),tanα•tanβ=1,
所以
y1
x1
y2
x2
=1即x1x2-y1y2=0

y21
y22
16
-
y21
y22
=0

所以y1y2=16,
由①知:
4b
k
=16
,
所以b=4k因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4,0)
2)當(dāng)θ≠
π
2
時(shí),由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
4(y1+y2)
y1y2-16
,
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:tanθ=
4
b-4k
,所以b=
4
tanθ
+4k
,
此時(shí),直線AB的方程可表示為y=kx+
4
tanθ
+4k
,
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4,
4
tanθ
)

∴當(dāng)θ=
π
2
時(shí),AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4,0),
當(dāng)θ≠
π
2
時(shí),.AB恒過(guò)定點(diǎn)(-4,
4
tanθ
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)下面四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,使得x2+x+l<0”的否定是真命題;
②一組數(shù)據(jù)18,21,19,a,22的平均數(shù)是20,那么這組數(shù)據(jù)的方差是2;
③已知直線l1:a2x-y+6=0與l2:4x-(a-3)y+9=0,則l1⊥l2的必要條件是a=-1:
④函數(shù)f(x)=|lgx|-(
12
x有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,則一定有0<x1x2<1.
其中真命題是
①②④
①②④
(寫出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知M(4,0),N(1,0)若動(dòng)點(diǎn)P滿足
MN
MP
=6|
NP
|

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程;
(2)設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn),求Q到直線l:x+2y-12=0的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

下面四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,使得x2+x+l<0”的否定是真命題;
②一組數(shù)據(jù)18,21,19,a,22的平均數(shù)是20,那么這組數(shù)據(jù)的方差是2;
③已知直線l1:a2x-y+6=0與l2:4x-(a-3)y+9=0,則l1⊥l2的必要條件是a=-1:
④函數(shù)f(x)=|lgx|-(數(shù)學(xué)公式x有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,則一定有0<x1x2<1.
其中真命題是________(寫出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年安徽省馬鞍山市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

下面四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,使得x2+x+l<0”的否定是真命題;
②一組數(shù)據(jù)18,21,19,a,22的平均數(shù)是20,那么這組數(shù)據(jù)的方差是2;
③已知直線l1:a2x-y+6=0與l2:4x-(a-3)y+9=0,則l1⊥l2的必要條件是a=-1:
④函數(shù)f(x)=|lgx|-(x有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,則一定有0<x1x2<1.
其中真命題是    (寫出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線l:xy-1=0,l:2xy-2=0.若直線l2l1關(guān)于l對(duì)稱,則l2的方 程是……………………………………………………………(    )

 A.x-2y+1=0                        

B.x-2y-1=0

 C.x+y-1=0                         

D.x+2y-1=0

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