Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n和為S_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=S_2n-S_n，求證：T_n+1＞T_n；
（3）求證：對(duì)任意的n∈N^*有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件可知b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題設(shè)知T_n=S_2n-S_n==．故，由此可證明T_n+1＞T_n．
（3）根據(jù)題設(shè)條件可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否則a_n=1，與a₁=2矛盾
從而得，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
∴，即．（4分）
（2）∵
∴T_n=S_2n-S_n=
=（6分）
∵2n+1＜2n+2∴
∴
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)==（12分）
=
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
綜①②知對(duì)任意的n∈N^*，不等式成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．