設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(I)利用(ii),可得當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,從而可得結(jié)論;
(II)分類討論,驗(yàn)證滿足條件(i),(ii)即可;
(III)利用反證法,結(jié)合條件,引出矛盾即可.
解答:(Ⅰ)證明:由題設(shè)條件可知,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,
即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)解:函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件.
驗(yàn)證如下:g(-1)=0=g(1).
對(duì)任意的u,v∈[-1,1],
當(dāng)u,v∈[0,1]時(shí),有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;
當(dāng)u,v∈[-1,0]時(shí),同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;
當(dāng)u•v<0,不妨設(shè)u∈[-1,0),v∈(0,1],有|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|.
所以,函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件.
(Ⅲ)解:這樣滿足的函數(shù)不存在.
理由如下:假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件,則由f(-1)=f(1)=0,得|f(1)-f(-1)|=0,①
由于對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.
所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2.②
①與②矛盾,因此假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.
點(diǎn)評(píng):本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間(a,b)(b>a)上的函數(shù),若對(duì)?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,則稱y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的平緩函數(shù).
(1)試證明對(duì)?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是區(qū)間(-1,1)5上的平緩函數(shù);
(2)若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T(mén)=2的平緩函數(shù),試證明對(duì)?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),滿足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的判斷:
①y=f(x)是周期函數(shù);
②y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;
③y=f(x)在[0,1]上是增函數(shù);
f(
12
)=0

其中正確判斷的序號(hào)是
 
.(把你認(rèn)為正確判斷的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在R上的函數(shù),給定下列三個(gè)條件:
(1)y=f(x)是偶函數(shù);
(2)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;
(3)T=2為y=f(x)的一個(gè)周期.
如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有
3
3
個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件,①f(-1)=f(1)=0,②對(duì)任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)證明:對(duì)任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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