Question

如果一個函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，則稱這個函數(shù)是下凸函數(shù)，下列函數(shù)
（1）f（x）=2^x；
（2）f（x）=x³；
（3）f（x）=log₂x（x＞0）；
（4）f(x)=

x， x＜0 2x， x≥0

中是下凸函數(shù)的有（　　）

A．（1），（2）

B．（2），（3）

C．（3），（4）

D．（1），（4）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，可得f″（x）≥0，再對四個函數(shù)分別求導(dǎo)，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2^x，則f′（x）=2^x•ln2，∴f″（x）=2^x•ln²2＞0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)；
（2）f（x）=x³，則f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（3）f（x）=log₂x，則f′（x）=

1

xln2

，∴f″（x）=-

1

x2ln2

＜0，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（4）x＜0時(shí)，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0時(shí)，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)
故選D．

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．