Question

設定義域為R的函數則關于x的方程f²(x)＋bf(x)＋c＝0有7個不同實數解的充要條件是

[　　]

A．

b＜0且c＞0

B．

b＞0且c＜0

C．

b＜0且c＝0

D．

b≥0且c＝0

Answer 1

答案：C
解析：

用數形結合的方法來解決，先畫出函數f(x)的圖象，如圖． 　　注意f(x)＝0有三個根，x1＝0，x2＝1，x3＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，則方程為t2＋bt＋c＝0有實數解(t≥0)需滿足t1＋t2＝－b≥0，即b≤0，t1·t2＝c≥0，排除B、D(因B項c＜0，D項b≥0)，對于A，不妨令b＝－3，c＝2，則方程為t2－3t＋2＝0，解之t1＝1，t2＝2，即f(x)＝1或f(x)＝2，由圖知有8個根，排除A，故選C．實際上當b＜0，且c＝0時，f2(x)＋bf(x)＝0，f(x)＝0或f(x)＝－b＞0，由f(x)＝－b＞0，結合圖象，此時有4個根，f(x)＝0有根為0，1，2計7個．