設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論f(x)的極值.

解：由已知,得f′(x)=6x［x-(a-1)］.令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.

（1）當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a＞1時(shí),f′(x)=6x［x-(a-1)］,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,a-1)

a-1

(a-1,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值

 

從上表,可知函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;在(0,a-1)上單調(diào)遞減;在(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)由(1),知當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)沒(méi)有極值;當(dāng)a＞1時(shí),函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值1,在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+1x2+2
．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若對(duì)一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x
|x|+1
(x∈R)，區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶三模）設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+3
3x-1
，則f-1(1)=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2
x+2
，點(diǎn)A0表示原點(diǎn)，點(diǎn)An=[n，f（n）]（n∈N*）．若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
，θn是
an
與
i
的夾角[其中
i
=(1，0)]，設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則
lim
n→∞
Sn=
3
4
2
3
4
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x-3，x≥1
1-3x
x
，0＜x＜1
，若f（x0）=1，則x0等于（　�。�

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