Question

17、求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x的最大值與最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡y的解析式后，再利用配方法把y變?yōu)橥耆�平方式即y=（1-sin2x）²+6，可設(shè)z═（u-1）²+6，u=sin2x，因?yàn)閟in2x的范圍為[-1，1]，根據(jù)u屬于[-1，1]時(shí)，二次函數(shù)為遞減函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求出z的最值即可得到y(tǒng)的最大和最小值．

解答：解：y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x=7-2sin2x+4cos²x（1-cos²x）=7-2sin2x+4cos²xsin²x=7-2sin2x+sin²2x=（1-sin2x）²+6
由于函數(shù)z=（u-1）²+6在[-1，1]中的最大值為z_max=（-1-1）²+6=10
最小值為z_min=（1-1）²+6=6
故當(dāng)sin2x=-1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin2x=1時(shí)y取得最小值6

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；本題的突破點(diǎn)是利用倍角公式降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．