Question

已知點F₁、F₂為雙曲線C：x2-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，且∠MF₁F₂=30°．圓O的方程是x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值；
（3）過圓O上任意一點Q（x₀，y₀）作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點，AB中點為M，求證：|

AB

|=2|

OM

|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，從而可得雙曲線C的方程；
（2）確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點P（x₀，y₀），求出點P到兩條漸近線的距離，利用P（x₀，y₀）在雙曲線C上，及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論；
（3）分類討論：①當切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程代入雙曲線C中，利用韋達定理，結(jié)合直線l與圓O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②當切線l的斜率不存在時，求出A，B的坐標，即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)F₂，M的坐標分別為(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)
因為點M在雙曲線C上，所以1+b2-

y02

b2

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2
在Rt△MF₂F₁中，∠MF1F2=300，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2…（2分）
由雙曲線的定義可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故雙曲線C的方程為：x2-

y2

2

=1…（4分）
（2）解：由條件可知：兩條漸近線分別為l1：

2

x-y=0；l2：

2

x+y=0…（5分）
設(shè)雙曲線C上的點Q（x₀，y₀），設(shè)兩漸近線的夾角為θ，則
則點Q到兩條漸近線的距離分別為|PP1|=

| 2 x0-y0|

3

，|PP2|=

| 2 x0+y0|

3

…（7分）
因為Q（x₀，y₀）在雙曲線C：x2-

y2

2

=1上，所以2x02-y02=2
又cosθ=

1

3

，
所以

PP1

•

PP2

=

| 2 x0-y0|

3

•

| 2 x0+y0|

3

cosθ=

|2x02-y02|

3

•

1

3

=

2

9

…（10分）
（3）證明：由題意，即證：OA⊥OB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2…（11分）
①當y₀≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0
所以：x1+x2=-

4x0

(2y02-x02)

，x1x2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

又y1y2=

(2-x0x1)

y0

•

(2-x0x2)

y0

=

1

y02

[4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]=

8-2x02

2y02-x02

…（13分）
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

+

8-2x02

2y02-x02

=

4-2(x02+y02)

2y02-x02

=0…（15分）
②當y₀=0時，易知上述結(jié)論也成立．  所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0…（16分）
綜上，OA⊥OB，所以|

AB

|=2|

OM

|．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．