解:(1)f'(x)=3ax
2+6x-6a,由f'(-1)=0,即3a-6-6a=0,得a=-2.(2分)
∴f(x)=-2x
3+3x
2+12x-11.令f'(x)=-6x
2+6x+12=0,解得x=-1或x=2
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)在區(qū)間(-2,3)上的變化情況如下表:
x | (-2,-1) | -1 | (-1,2) | 2 | (2,3) |
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 單調(diào)遞減 | -18 | 單調(diào)遞增 | 9 | 單調(diào)遞減 |
從上表可知,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)在區(qū)間(-2,3)上有極小值,極小值為-18,當(dāng)x=2時(shí),f(x)在區(qū)間(-2,3)上有極大值,極大值為9.(4分)
(2)∵直線m恒過點(diǎn)(0,9).
先求直線m是y=g(x) 的切線.設(shè)切點(diǎn)為
,
∵g'(x
0)=6x
0+6.
∴切線方程為
,將點(diǎn)(0,9)代入得x
0=±1.
當(dāng)x
0=-1時(shí),切線方程為y=9; 當(dāng)x
0=1時(shí),切線方程為y=12x+9.(6分)
由f'(x)=0得-6x
2+6x+12=0,即有x=-1,x=2
當(dāng)x=-1時(shí),y=f(x)的切線y=-18,
當(dāng)x=2時(shí),y=f(x)的切線方程為y=9,
∴y=9是公切線,(7分)
又由f'(x)=12得-6x
2+6x+12=12
∴x=0或x=1,
當(dāng)x=0時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-11;
當(dāng)x=1時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-10,
∴y=12x+9不是公切線.(8分)
綜上所述 k=0時(shí)y=9是兩曲線的公切線.(9分)
(3)①由kx+9≤g(x)得kx≤3x
2+6x+3,當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立,k∈R;
當(dāng)-2≤x<0時(shí),不等式為
,而
≤-3•2+6=0
∴k≥0
當(dāng)x>0時(shí),不等式為
6
∵
∴k≤12
∴當(dāng)x≥-2時(shí),kx+9≤g(x)恒成立,則0≤k≤12.(11分)
②由f(x)≤kx+9得
當(dāng)x=0時(shí),9≥-11恒成立,k∈R;當(dāng)-2≤x<0時(shí),有
,
設(shè)h(x)=
=
,
當(dāng)-2≤x<0時(shí)
為增函數(shù),
也為增函數(shù),所以h(x)≥h(-2)=8
故要使f(x)≤kx+9在-2≤x<0上恒成立,(12分)
由上述過程只要考慮0≤k≤8,則當(dāng)x>0時(shí)f'(x)=-6x
2+16x+12=-6(x+1)(x-2)
在x∈(0,2]時(shí)f'(x)>0,在(2,+∞)時(shí)f'(x)<0,
所以f(x)在x=2時(shí)有極大值,即f(x)在上的最大值,又f(2)=9,即f(x)≤9
而當(dāng)x>0,k≥0時(shí),f(x)≤kx+9一定成立.
綜上所述0≤k≤8.(14分)
分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由f'(-1)=0,可求a,代入可求導(dǎo)數(shù)的符號(hào),進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值得
(2)由直線線m:y=kx+9過定點(diǎn)(0,9),設(shè)切點(diǎn)為
,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可達(dá)切線方程為
,將點(diǎn)(0,9)代入可求x
0,然后代入可求切線方程,然后可求f(x)的切線方程,又由f'(x)=12得-6x
2+6x+12=12可得x=0或x=1,同理可求f(x)得切線,進(jìn)而可確定公切線
(3)①由kx+9≤g(x)得kx≤3x
2+6x+3,分類討論:當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)-2≤x<0;當(dāng)x>0時(shí)結(jié)合基本不等式可求k的范圍;②由f(x)≤kx+9,分類討論:當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)-2≤x<0;當(dāng)-2≤x<0,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義:導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為改點(diǎn)的切線的斜率,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值求解中的應(yīng)用.屬于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.