Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PA中點(diǎn)F，連接EF、FD，可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，證明四邊形EFDC是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻A=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，∠PBH是PB與平面ABCD所成角，從而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連接PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，構(gòu)造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取PA中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FD，
∵E是BP的中點(diǎn)，∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
又∵DC∥AB且DC=

1

2

AB，
∴EF∥DC且EF=DC，∴四邊形EFDC是平行四邊形，
故得EC∥FD …（2分）
又∵EC?平面PAD，F(xiàn)D?平面PAD，
∴EC∥平面ADE …（4分）
（Ⅱ）解：取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，因?yàn)镻A=PD，
所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角…（6分）
∵四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形，DC=CB=

1

2

AB
設(shè)AB=2a，則BD=

2

a，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴AD=

2

a，PH=

PD2-DH2

=

2

2

a，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴HB=

DH2+DB2

=

10

2

a，
∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=

PH

HB

=

5

5

…（10分）
（Ⅲ）解：在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連結(jié)PG，
則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，
由AB=2a…（11分）
∴HA=

2

2

a，
又∠HAB=45°∴HG=

1

2

a，PG=

3

2

a
在Rt△PHG中，sin∠PGH=

PH

PG

=

6

3

，
∴二面角P-AB-D的正弦值為

6

3

…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面位置關(guān)系的判斷，空間角求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．