Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=2

3

，AC=2．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設D為BC的中點，連結AD，DP，證明平面PBC⊥平面ABC，只需證明PD⊥平面ABC，；
（Ⅱ）過A作AE⊥BC于E，過E作EG⊥PB于G，連結AG，證明∠AGE即為二面角A-PB-C的平面角，即可求二面角A-PB-C的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：設D為BC的中點，連結AD，DP．
因為AD⊥AC，所以DA=DB=DC．…（2分）
因為PA=PB=PC，所以△PAD≌△PBD≌△PCD，
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，
即PD⊥平面ABC               …（5分）
因為PD?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．…（7分）
（Ⅱ）解：過A作AE⊥BC于E，過E作EG⊥PB于G，連結AG．
由（Ⅰ） 平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC=BC，
所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥PB，…（9分）
又EG⊥PB，且AE，EG?平面AEG，AE∩EG=E，
所以PB⊥平面AEG，又AG?平面AEG，所以PB⊥AG；
所以∠AGE即為二面角A-PB-C的平面角．…（11分）
在Rt△ABC中，AB=2

3

，AC=2，可得∠ABC=30°，AD=2，所以AE=

3

，BE=3，PD=

5

，
在等腰△PBC中，PB=3，AC=2，可得sin∠PBC=

5

3

，所以EG=

5

，
所以，在Rt△AEG中，tan∠AGE=

AE

EG

=

15

5

，
即二面角A-PB-C的正切值為

15

5

．…（14分）

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，正確運用面面垂直的判定定理，作出面面角是關鍵．