Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）若不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x²-5x+4≤0}的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)
由∴f（x）為R上的偶函數(shù)
（Ⅱ）由x²+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
從而不等式等價(jià)于：x²+2≤|a||2x-1|
又不等式x²-5x+4≤0的解集為A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x²+2-2|a|x+|a|≤0
1⁰當(dāng)△＜0時(shí)，不等式的解集為空集，滿足條件，即|a|∈（-1，2）?|a|＜2成立；
2⁰當(dāng)△=0時(shí)，|a|=2，此時(shí)x²-4x+4≤0?x=2∈A成立；
3⁰當(dāng)△＞0時(shí)，|a|＞2，
設(shè)方程x²+2-2|a|x+|a|=0的兩根為x₁，x₂，則
綜上，
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解出函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的遞減區(qū)間，此類函數(shù)的奇偶性可用等價(jià)形式證明，本題可以證明f（x）-f（-x）=0，來得出函數(shù)是偶函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）結(jié)論，不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）等價(jià)于x²+2≤|a||2x-1|，再根據(jù)A=[1，4]，將不等式轉(zhuǎn)化為x²+2-2|a|x+|a|≤0，若此不等式解集是空集，符合題意，若不是空集，則此不等式相應(yīng)方程的根必在區(qū)間[1，4]內(nèi)，由二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式，求解參數(shù)的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第一種類型．本題的解題重心在第二小問上，利用單調(diào)性解抽象不等式是函數(shù)中的一類難題，如本題求解時(shí)要分為三類研究，用到了分類討論的思想，此類題常因考慮不周詳而導(dǎo)致解題失敗，做題時(shí)要考慮完善．