Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）ex則對任意的m∈R，函數(shù)F（x）=f（f（x））﹣m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有（　�。�
A.3個(gè)
B.4個(gè)
C.6個(gè)
D.9個(gè)

Answer 1

【答案】A
【解析】解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（﹣2，0）函數(shù)是增函數(shù)，

f（﹣2）= ，f（﹣1）=0，且x→0時(shí)，f（x）→1，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（0）=0，而x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f（x）＜0，

所以函數(shù)的圖象如圖：令t=f（x）則f（t）=m，

由圖象可知：當(dāng)t∈（﹣1，1）時(shí)，方程f（x）=t至多3個(gè)根，當(dāng)t（﹣1，1）時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，

而對于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一個(gè)根，t∈（﹣1，1），

從而函數(shù)F（x）=f（f（x））﹣m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè)．

故答案為：A．

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex可知x∈（﹣∞，﹣2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（﹣2，0）函數(shù)是增函數(shù)，并且f（﹣2）= ，f（﹣1）=0，且x→0時(shí)，f（x）→1，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)分析結(jié)果，作出f（x）的大致圖象，數(shù)形結(jié)合不難得出零點(diǎn)最多為3個(gè).