Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=2n2+4n． 設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且bn=

2

an(2n-1)

． 
 （1）求T_n．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+4x，對(duì)（1）中的數(shù)列{a_n}，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f(x)≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）已知S_n=2n²+4n，n=1代入求得首項(xiàng)，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通項(xiàng)公式，代入b_n，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求T_n；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N₊恒成立，令C_n=

4n+2

n+1

，證明C_n是遞增數(shù)列，只要f（x）小于C₁即可，看能否解出x的范圍，再進(jìn)行判斷；

解答：解：（1）由題意，S_n=2n²+4n，
所以a₁=S₁=6，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也滿足此式，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n+2，
所以b_n=

2

an(2n-1)

=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N₊恒成立，
則-x²+4x≤

4n+2

n+2

對(duì)任意n∈N₊恒成立，
令C_n=

4n+2

n+1

，因?yàn)镃_n+1-C_n=

2

(n+1)(n+2)

＞0，所以數(shù)列{C_n}是遞增數(shù)列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3，
所以存在最大的實(shí)數(shù)λ=1，使得x≤λ時(shí)，f（x）≤

an

n+1

對(duì)任意n∈N₊恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)法求和問(wèn)題，探索實(shí)數(shù)是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答；