Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x+1

（1）證明：f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）若f（x）≤a在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)-1＜x₁＜x₂，根據(jù)減函數(shù)的定義，只需通過作差說明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）f（x）≤a在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，等價于x∈[0，+∞）時f（x）_max≤a，借助（1）問函數(shù)的單調(diào)性可求其最大值．

解答：（1）證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
因?yàn)?1＜x₁0，x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）=

1

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）解：f（x）≤a在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，等價于x∈[0，+∞）時f（x）_max≤a，
由（1）知，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）_max=f（0）=1，
所以有a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，單調(diào)性問題常用到定義，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．