已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

 

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用以及點(diǎn)在橢圓上列方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)到軸的距離；（2）先設(shè)點(diǎn)、，利用為平行四邊形，得到，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與點(diǎn)在橢圓上這一條件，列相應(yīng)等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由已知得、，

設(shè)，則的中點(diǎn)為，

，，即，

整理得，①，又有，②

由①②聯(lián)立解得或（舍）

點(diǎn)到軸的距離為；

（2）設(shè)，，，

四邊形是平行四邊形

線段的中點(diǎn)即為線段的中點(diǎn)，即，，

點(diǎn)在橢圓上，，

即，

化簡(jiǎn)得，

由得，

由得，④

且，代入③式得，

整理得代入④式得，又，或，

的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.韋達(dá)定理

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)（點(diǎn)在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測(cè)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)（）．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

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