Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a（a∈R）對于n=1，2，3…，有a_n+1=．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a_n＜4時，證明：0＜a_n+1＜4；
（Ⅱ）若0＜a＜1，求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅲ）證明在數(shù)列{a_n}中，存在一項a_n0滿足a_n0≤3．

Answer 1

解：（I）當(dāng)0＜a_n≤3時，a_n+1=-a_n+4，1≤-a_n+4＜4，∴1≤a_n+1＜4；
當(dāng)3＜a_n＜4時，a_n+1=a_n-3，0＜a_n-3＜1，∴0＜a_n+1＜1．因此0＜a_n＜4時，0＜a_n+1＜4．
（II）0＜a＜1，a₂=-a+4，a₃=a₂-3=-a+1，a₄=-a₃+4=a+3，a₅=a₄-3=a．
∴猜想對于任意正整數(shù)l有a_4l-3=a，a_4l-2=4-a，a_4l-1=1-a，a_4l=a+3（即{a_n}是周
期為4的數(shù)列）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）l=1時，a_4l-3=a成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)l=k∈N⁺時，a_4k-3=a成立．
則當(dāng)l=k+1時，∵0＜a＜1，∴a_4k-2=-a_4k-3+4=-a+4，
a_4k-1=a_4k-2-3=-a+4-3=-a+1，a_4k=-a_4k-1+4=a+3，
a_4（k+1）-3=a_4k-3=a，即當(dāng)l=k+1時，a_41-3=a也成立．
由（i）（ii）可知對任意l∈N⁺，a_4l-3=a．
同理可證a_4l-2=4-a，a_4l-1=1-a，a_4l=a+3．
（III）假設(shè)對所有的n，a_n＞3，則對所有的n，有a_n+1=a_n-3，所以數(shù)列{a_n}是首項
為a，公差為-3的等差數(shù)列，所以a_n=a+（n-1）（-3）=（a+3）-3n，所以存在充分大的
n，使得a_n≤3，這與假設(shè)矛盾，∴假設(shè)不成立，∴在數(shù)列{a_n}中，存在一項a_n，滿足a_n≤3．
分析：（I）當(dāng)0＜a_n≤3時，a_n+1=-a_n+4，1≤-a_n+4＜4，故1≤a_n+1＜4；當(dāng)3＜a_n＜4時，a_n+1=a_n-3，0＜a_n-3＜1．由此知0＜a_n＜4時，0＜a_n+1＜4．
（II）0＜a＜1，a₂=-a+4，a₃=a₂-3=-a+1，a₄=-a₃+4=a+3，a₅=a₄-3=a．由此猜想對于任意正整數(shù)l有a_4l-3=a，a_4l-2=4-a，a_4l-1=1-a，a_4l=a+3（即{a_n}是周期為4的數(shù)列）．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（III）假設(shè)對所有的n，a_n＞3，則對所有的n，有a_n+1=a_n-3，所以a_n=a+（n-1）（-3）=（a+3）-3n，所以存在充分大的n，使得a_n≤3，這與假設(shè)矛盾．所以在數(shù)列{a_n}中，存在一項a_n，滿足a_n≤3．
點評：本題考查數(shù)列中第n+1項取值范圍的證明、數(shù)列通項公式的求法和數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要注意放縮法、猜想法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的合理運用．