Question

某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑AB為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）．在點(diǎn)A與圓

弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）

（1）設(shè)（弧度），將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；

（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大．

 

Answer 1

（1），,（2）當(dāng)時(shí)，綠化帶總長度最大．

【解析】

試題分析：（1）解實(shí)際問題應(yīng)用題，關(guān)鍵正確理解題意，正確列出等量關(guān)系或函數(shù)關(guān)系式.本題要注意著重號(hào). 綠化帶總長度等于2AC與弧長BC之和. 在直角三角形中，，，所以．由于，所以弧的長為．所以，作為函數(shù)解析式，必須明確其定義域，．（2）利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 令，則，列表分析可知當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值．

【解】（1）如圖，連接，設(shè)圓心為，連接．

在直角三角形中，，，

所以．

由于，所以弧的長為． 3分

所以，

即，． 7分

（2）， 9分

令，則， 11分

列表如下：

	+	0
		極大值

 

所以，當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值． 13分

答：當(dāng)時(shí)，綠化帶總長度最大． 14分

考點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題